Barbi è un prodotto del settore giovanile del Rovigo, squadra in cui ha giocato dall'under 10 fino alla stagione 2021/2022 in cui coglie il suo primo cap coi Bersaglieri (Febbraio 2022 contro i Lyons Piacenza).

Come detto la carriera di Jacopo si lega ai colori rossoblù dei rodigini. Dopo aver compiuto tutta la trafila del settore giovanile vive, tra la stagione 2020/2021 e la fine della 2021/2022, l'esperienza dell'Accademia Federale under 18 di Treviso.

Jacopo vanta diverse convocazioni con le selezioni giovanili azzurre. Nel 2021 viene convocato in Nazionale under 18 per il test contro l'Inghilterra ma il covid lo mette fuori causa. Si rifà nell'Aprile dell'anno dopo quando con l'under 19 gioca contro gli inglesi nel test perso dagli Azzurrini a Verona. Nel gennaio 2023, invece, Barbi è protagonista con gli ex gialloneri Bozzoni e Botturi nel test contro la Francia dell'under 20.

Nell'ultima stagione è stato protagonista della sua prima vera e propria esperienza in prima squadra, con il Rugby Badia, squadra in cui ha avuto spazio e modo di testarsi nel palcoscenico della Serie A, in un girone tosto come quello del nord-est.